由 $d$ 是 $n$ 的真因子知 $\varPhi_n(x) \mid \frac{x^n - 1}{x^d - 1}$, 从而 $p \mid \pqty{x^d - 1, \frac{x^n - 1}{x^d - 1}}$.

设 $X = x^d - 1$, 则 $\frac{x^n - 1}{x^d - 1} = \frac{(X+1)^{\frac{n}{d}} - 1}{X} = AX + \frac{n}{d}$, 其中 $A \in \Z$.

由于 $p \mid X$, 有 $p \mid \frac{n}{d}$, 从而 $p \mid n$. 证毕.